>>153514
А как определяется «сумма» прямых?
Пусть <…> - линейная оболочка каких-то векторов.
Пусть v + <l> - многообразие, определяемое отступом v и оболочкой <l>.
Введём сумму прямых v₀ + <l₀> и v₁ + <l₁> как v₀ + v₁ + <l₀, l₁>. Но что делать, когда <l₀, l₁> - плоскость? Тогда прямые каждого из трёх классов незамкнуты относительно такого сложения.
Введём сумму v₀ + <l₀> и v₁ + <l₁> как v₀ + v₁ + <l₀ × l1>? Но тогда если l₀ и l₁ коллинеарны, опять беда.
Введём сумму прямых v₀ + <l₀> и v₁ + <l₁> как v₀ + v₁ + <(l₀ + l₁)>. Но что делать, если l₀ = -l₁? Конечно, можно сказать, что если уж они таковы, то сумма есть v₀ + v₁ + <l₀>, и тогда результатом будут только прямые, будет параллельный перенос. Хотя всё равно не подходит, потому что для одной и той же прямой вектора l₀ можно и другие взять, и резульат будет разный, но прямая-операнд-то будет та же. Попробуем нормировать.
Пусть n(v) возвращает нормированный вектор v умноженный на 1 или -1 так, что у него либо все координаты больше или равны 0, либо первая больше 0, вторая — меньше.
Введём сумму прямых v₀ + <l₀> и v₁ + <l₁> как v₀ + v₁ + <n(l₀) + n(l₁)>.
Будем рассматривать координаты в декартовом базисе. Пусть (a, a') - точка сетки.
Выберем из первого класса (a - pi, a') + <(0, 1)> и (pi, 0) + <(0, 1)>. Тогда их сумма есть (a, a') + <(0, 1)>, и она лежит во втором или в третьем классе. Тогда множество прямых первого класса незамкнуто относительно введённой операции.
Возьмём из сетки вектора (p, q) и (u, v) такие, что любую точку сетки можно представить как сумму какой-то фиксированной точки сетки A с линейной комбинацией (p, q) и (u, v). Ой. Пусть Z<…> — линейная оболочка, образованная линейными комбинациями с целочисленными коэффицентами. Тогда же ведь получается, A + Z<(p, q), (u, v)> — многообразие точек сетки, считая кольцом скаляров кольцо Z. И если можно взять A = (0, 0), то это даже пространство со скалярами из Z. Ну да ладно.
Возьм
